von Nico Jäke
Teil I: Monatsthema April: Die Macht der Zahlen – Welchen Einfluss haben Zahlen auf unser Leben und wie lassen wir uns von ihnen beeinflussen?
(erschienen am 3. April 2022)
Unser aller Leben beginnt mit Zahlen. Aus einer Eizelle und einer Samenzelle entstehen binnen weniger Tage erst Tausende, dann Millionen Zellen. Das ist, wenn man so will, unsere erste Begegnung mit einer exponentiellen Funktion. Wir nehmen das nicht wahr. Aber: sobald die Schwangerschaft bestätigt ist, beginnt das Zählen, Schwangerschaftswoche und möglicher Geburtstermin werden errechnet. Sobald wir „geschlüpft“ sind, geht es weiter: Größe, Gewicht, Kopfumfang, Geburtstag und Uhrzeit – Kennzahlen, die in den Mutterpass wandern. Wenige Tage später grüßt uns dann der erste Amtsbrief unseres Lebens: „Sehr geehrter Herr/Frau Baby, untenstehend teilen wir Ihnen Ihre Steueridentifikationsnummer mit…“ Und all das, so weiß jeder von uns, war nur der winzige Anfang.
Haben Zahlen „Macht“?
Die Zahlen aus unseren Geburtsstunden sind zunächst einmal relativ unspannend. Natürlich ist der Geburtstag wichtig, nicht nur für uns, sondern vor allem für die Eltern, dabei aber von „Macht“ zu sprechen, wäre vermutlich etwas zu weit gegriffen. Anders sieht es dann schon bei der Steueridentifikationsnummer (die keine Zahl ist) aus, beziehungsweise all dem, was daran hängt. Denn: dabei geht es unter anderem um das Thema Geld. Und gerade bei Geld sind Zahlen noch in deutlich vielfältigerem Maße präsent. Das beginnt bei der Kontonummer (als Bestandteil der IBAN), reicht über die Geheimzahl für die Bankkarte, erstreckt sich über mögliche Zinsen, Kontoführungsgebüren und ähnliches – allein in Bezug auf eine Beziehung zu einem Kreditinstitut. Und um beim Thema Macht in Verbindung mit Zahlen zu bleiben: Die Geheimzahl bei Bank- oder Kreditkarte ermöglicht den Zugriff auf das Geld. Eine Zahl also, die ganz subjektiv viel Macht haben kann. Damit ist sie in guter Gesellschaft, denn Dinge wie unsere ewigen Begleiter, die Smartphones, lassen sich ebenfalls mit einer Geheimzahl entsperren und geben möglicherweise einen Großteil unseres Privatlebens preis, wären sie bekannt. Um beim Smartphone zu bleiben: Was ist mit der Telefonnummer? Wird sie falsch weiter gegeben, ist man auf diese Weise nicht zu erreichen. Gelangt sie in die falschen Hände, besteht zumindest die Möglichkeit, Opfer von Telefonbetrug zu werden.
Ein Fall der Wahrnehmung
Sind die vorgenannten Beispiele noch eher praktischer Natur, führen sie doch greifbar vor Augen, was passiert, wenn zu leichtfertig mit Zahlen umgegangen wird. Leichtfertig sollten Zahlen aber nie behandelt werden. Insbesondere nicht an Stellen, an denen damit wichtige Sachverhalte vermittelt werden sollen. Fehlender Kontext und komplizierte Formeln sowie eine eigenständige Interpretation führen beim Empfänger einer Botschaft nicht selten zu Missverständnissen. Während zum Beispiel heute eigentlich jeder grundsätzlich verstehen kann, was mit dem Inzidenzwert gemeint ist, war dieser vor zwei Jahren neu und sorgte für entsprechend viel Verwirrung. Zahlen können zudem, je nachdem wie sie kommuniziert und in welchen Kontext sie gesetzt werden, ganz andere Reaktionen hervorrufen, zumindest aber ganz anders wirken. So klingt „200.000 Euro konnten eingespart werden“ zunächst nach einer großen Summe. Setzt man sie allerdings in den richtigen Kontext, in diesem Fall zum Beispiel den Helmstedter Kreishaushalt mit einem Volumen von über 200 Millionen Euro, sind die 200.000 Euro plötzlich 0,1 Prozent. Verstärkt wird dies, sobald Worte wie „nur“ davor auftauchen. Ebenso führen unterschiedliche Zahlensysteme nicht selten zu Verwirrungen. Während zum Beispiel verschiedene Temperatur-Maßeinheiten durch das entsprechende Symbol noch recht leicht zu erkennen sind, ist das beim Datum aus dem englischsprachigen Raum nicht immer der Fall – da sind schlicht Tag und Monat „vertauscht“ und der 3. April könnte somit zum 4. März werden…
Auch Statistiken beinhalten praktisch immer die Möglichkeit, die Zahlen auf mehrere Art und Weise zu interpretieren. Nicht umsonst gibt es das Sprichwort „Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast“. Dieser spezielle Bereich wird in einer der kommenden Ausgaben des HELMSTEDTER SONNTAG im Rahmen des Monatsthemas aber noch näher beleuchtet. Einen weiteren Gedanken über Sinn und Unsinn zu „komplizierter Mathematik“ gibt es beim Monatsthema April ebenfalls. Aus gutem Grund. Um einige Zahlen zu „verstehen“ wird nämlich das entsprechende Wissen benötigt. Wie drastisch sich solche Phänomene, auch für unseren Alltag, gestalten, wird am Beispiel von relativen Zahlen deutlich. Die nämlich sind permanente Begleiter im Alltag. Ob bei Preis-Steigerungen oder -Reduzierungen, bei Mengenanteilen im Kochrezept und an vielen Stellen mehr. Preise und Angebote sind dann schließlich auch etwas, dem sich fast schon eine eigene Unterform der Psychologie widmet. Die allgemein bekannte Aussage „Fünf Euro klingt teuer – 4,95 Euro klingt nach Schnäppchen“ greift dafür allerdings viel zu kurz. Vielmehr werden dazu in aller Regelmäßigkeit Studien veranlasst, die das Verhalten der Menschen beobachten, um über eben jene Zahlen Einfluss auf das Einkaufsverhalten zu nehmen. Vor Zahlen „retten“ kann sich schlussendlich aber niemand. Denn selbst am Lebensende begegnen sie uns – je nach Glauben – in unterschiedlicher Art und Weise. Immerhin ist „unendlich“ auch nichts anderes als eine Zahl…
Teil II: Statistiken und wie sie in die Irre führen können – selbst, wenn sie absolut korrekt erstellt wurden
(erschienen am 10. April 2022)
Mit Statistiken ist es immer so eine Sache. Die Zahlen, die sie enthalten, mögen alle ganz korrekt erfasst sein. Das, was aus dem Gesamtwerk aber abgeleitet wird, kann sich, trotz identischer Daten, unterscheiden wie Tag und Nacht. Dieser Umstand wird im Rahmen des Monatsthemas April im HELMSTEDTER SONNTAG näher beleuchtet.
Eine Frage der Interpretation
Auf Seite 14 dieser Ausgabe gibt es einen Blick auf die Kriminalstatistik 2021 für die Stadt Schöningen. Sie ist ein Auszug aus einem riesigen Zahlenwerk, das die Entwicklung der Taten und der dazugehörigen Aufklärungsquote zeigt. Das Wesentliche, was dabei im Hinterkopf behalten werden muss, ist allerdings: Es handelt sich konsequenterweise nur um die Fallzahlen, die bekannt sind. Wird eine Straftat – warum auch immer – nicht gemeldet, taucht sie nicht in der Statistik auf. Alles darüber hinaus unterliegt der jeweiligen Interpretation der Daten und dem Hinterfragen bestimmter Ergebnisse.
Angenommen, die (bekannten) Fälle von Drogenmissbrauch hätten zugenommen, wäre das zwar eine mögliche Aussage der Statistik. Sind die Zahlen auf dem Papier nun aber gestiegen, weil es tatsächlich mehr Fälle gab, weil sich vermehrt Straftäter haben „erwischen lassen“ oder hat die Polizei schlicht mehr Energie und Personal in die Untersuchung dieses Deliktfeldes gesteckt? Abgesehen vom ersten Fall wäre es dann sogar denkbar, dass die reale Zahl aller Delikte (also inklusive der, die nicht bekannt wurden) gesunken ist, während die Zahl derer, die bekannt geworden sind, gestiegen ist. Wie lautet die nun zu treffende Ableitung aus der Statistik?
Wir alle machen Fehler
Im Jahr 2005 veröffentlichte John Ioannidis, Professor an der Stanford School of Medicine, einen Artikel mit einem drastischen Titel: „Warum die meisten veröffentlichten wissenschaftlichen Entdeckungen falsch sind“. John Ioannidis zeigte in dem Artikel viele Faktoren auf, die in Summe dazu führen sollen, dass Studien vielleicht nicht gänzlich falsch, aber immerhin nicht ganz richtig sein könnten. Die Kernthese dazu bezieht sich darauf, dass der so genannte p-Wert, der die statistische Bedeutsamkeit zu einer bestimmten Annahme zu „großzügig“ ausgelegt sei und sich manipulieren ließe. Die Veröffentlichung sorgte in Wissenschaftskreisen naturgemäß für großes Aufsehen. Erstaunlicherweise dergestalt, dass es zwar breite Zustimmung zu Professor Ionnidis Thesen gab, seine Wortwahl allerdings für etwas überspitzt gehalten wurde. Folgestudien belegten letztlich beides: Einerseits, dass zwar nicht „die meisten“ wissenschaftlichen Veröffentlichungen falsch sind, wohl aber eine nicht zu unterschätzende Anzahl. Schlussendlich entstand daraus durchaus Positives: Die Forderung nach Replizierbarkeit, um entsprechende Forschungsinhalte als korrekt anzusehen.
Ist doch alles relativ…
Der wohl wichtigste Faktor neben Interpretation und inhaltlicher Korrektheit von Statistiken ist letztlich aber deren Relation. Also die Vergleichbarkeit ihrer Inhalte oder zumindest ein Bezugspunkt dazu. Während dies schon bei der Fallzahl-Diskussion angedeutet wurde, wird es umso offensichtlicher in einem ganz aktuellen Kontext: der Benzinpreisdebatte. Letztere eignet sich hervorragend dazu, „Meinung zu machen“ und wurde daher auch allzuhäufig dazu benutzt. Natürlich: Von einem Tag auf den anderen 30 Cent (oder mehr) mehr für den Liter bezahlen zu müssen ist, im besten Falle „ärgerlich“. In diesem Kontext wurden dann Statistiken angeführt, die den Kraftstoffpreis im europäischen Vergleich zeigten. Ohne Wunder kam, zumal einige Länder zu diesem Zeitpunkt den Kraftstoffpreis bereits auf unterschiedlichen Wegen staatlich gesenkt hatten, Deutschland dabei als eines der Schlusslichter zur Geltung. Was die Tabelle aber verschwieg, war die Relation des Preises zum Geld, das die jeweiligen Bewohner der Länder zur Verfügung haben. Nämlich ihr mittleres Netto-Einkommen. Ebenso, wie die Preissteigerung im jeweils gleichen Land. In einer entsprechend überarbeiteten Statistik sprang die Bundesrepublik über mehr als ein Dutzend Plätze nach vorn, vom Tabellenkeller an die Spitze sozusagen. Die Aussage war nun nicht mehr, „der Sprit ist bei uns am teuersten“, sondern „obwohl der Sprit bei uns am teuersten ist, sind wir davon weniger stark betroffen als Menschen in anderen Ländern.“
Teil III: Exponentialfunktionen und mehr – warum wir „komplexe“ Mathe doch häufiger brauchen, als wir glauben
(erschienen am 17. April 2022)
Vermutlich wird sich während der Schulzeit im Fach Mathematik ein Jeder schonmal gefragt haben: „Wofür genau werde ich das später im Leben einmal brauchen können?“ Auf den ersten Blick im Kontext von Summenformeln, Matrizen und irrationalen Zahlen sicher eine berechtigte Frage. Doch der Schein trügt. Schon zunächst sehr komplex wirkende Kurvenfunktionen begegnen uns doch im Alltag wieder. Und je weiter man die Themen herunter bricht, umso wesentlicher werden manche Teilbereiche der Mathematik für unser ganz alltägliches Leben. Einen näheren Blick auf die „Zahlen“ wirft das Monatsthema April im HELMSTEDTER SONNTAG und geht der Frage nach: Wie viel Mathe steckt in unserem Alltag?
Nicht viel mehr als das kleine Einmaleins
Man kann vom deutschen Schulsystem halten, was man will. Das Fach Mathematik jedenfalls bereitet Schüler bis zu einem gewissen Punkt tatsächlich auf das reale Leben und die sich darin stellenden Alltagsaufgaben vor. Natürlich, Addition und Subtraktion werden schon beim Zählen des Kleingelds für den Bezahlvorgang an der Kasse von Bedeutung. Das ist offensichtlich. Die Multiplikation und Division wird benötigt, wenn das Essen für acht oder eben nur zwei statt vier Besucher gekocht werden soll. Ebenfalls noch einleuchtend ist die Notwendigkeit, etwas über Prozentrechnung zu wissen. Wie soll man sonst erahnen, wie viel günstiger die 30 Prozent Nachlass das Produkt tatsächlich machen? Also vor dem Scannen an der Kasse. Aber wo hört das auf? Wofür braucht man den Dreisatz oder Geometrie?
Ob wir das wollen oder nicht, der Dreisatz begegnet uns im Alltag mindestens so häufig wie die Prozentrechnung. Zum Beispiel immer dann, wenn wir Preise vergleichen. 100 Gramm Wurst kosten 2,50 Euro, 150 Gramm der gleichen Wurst 3,50 Euro. Welche ist günstiger? Bei der größeren Packung ist die Hälfte mehr enthalten, also wäre auch ein um die Hälfte höherer Preis angemessen. Wir rechnen: 100 Gramm geteilt durch zwei gleich 50 Gramm, 150 Gramm geteilt durch 50 Gramm gleich drei. Also hätte die Ware den gleichen Preis, wenn sie drei mal den Preis der Hälfte vom Ursprungspreis hat. 2,50 Euro geteilt durch zwei ergibt 1,25 Euro, mal drei sind 3,75 Euro. In unserem Kopf passiert das zwar nicht so kompliziert, aber es passiert. Meist sogar unbewusst.
Bei Geometrie ist es nicht viel anders. Wir wissen aus Schultagen vielleicht nicht mehr, wie man den Umfang eines Kreises oder dessen Flächeninhalt berechnet, aber es ist meist hängen gelieben, dass der Radius die Hälfte vom Durchmesser ist. Wo das weiter hilft? Zum Beispiel beim Abschätzen des Materialaufwandes, wenn eine Schultüte für das Kind gebastelt wird. Und wenn wir unsere Möbel in der Wohnung aufbauen, achten wir auch automatisch darauf, wie wir mit spitzen oder flachen Winkeln umgehen, damit unsere rechtwinkligen Schränke nicht mitten im Raum stehen müssen.
Höhere Mathematik
Während das nun bisher alles irgendwie nachvollziehbar erscheint, stellt sich die Frage: Und was ist mit den Dingen, die man ab Schulklasse acht oder neun lernt? Auch das taucht häufiger auf, als man denken mag, wenngleich natürlich weitaus seltener als die Grundrechenarten. Beispiele gefällig? Während der Corona-Pandemie tauchte häufig der Begriff „exponentielles Wachstum“ auf. Dahinter verbirgt sich im Kern die Definition ax, also eine x-fache Multiplikation von a mit sich selbst. Das wohl beste bekannte Beispiel einer solchen Funktion ist 2x, also zwei mal zwei mal zwei mal zwei… Resultierend in der im Computer allgegenwärtigen Zahlenreihe „2, 4, 8, 16, 32, 64…“
Gemeint war aber eben nicht genau diese Funktion. Mit einer Ausgangssituation von nur zwei Fällen wären nach 33 Tagen nämlich bereits sämtliche Menschen der Welt mit dem Virus infiziert gewesen (233 = 8.589.934.592). Exponentielles Wachstum hat gegenüber einer „normalen“ Exponentialfunktion nämlich eine Zeitkomponente, die beschreibt, in welchem Zeitraum eine Verdopplung stattfindet. Mit diesem Hintergrund ist klar, warum die Verlaufskurven der Infektionen glücklicherweise nicht so dramatisch aussahen, wie eine Parabel, die die Funktion 2x zur Folge hätte. Ähnlichen Funktionen begegnen wir dann aber doch auch wieder ganz im Alltäglichen abseits von Covid. Nämlich bei Finanzgeschäften. Einige Zinsarten werden nämlich so berechnet (zum Beispiel Jahreszinssätze). Die klassische Exponentialfunktion 2x wiederum begleitet uns von der ersten Stunde an. So nämlich beginnt die Zellteilung bei unserer Entstehung.
Teil IV: Das kleine Einmaleins der flinken Fehler – Häufig falsch interpretierte Zahlen werden beim Abschluss des Monatsthemas „Die Macht der Zahlen“ beleuchtet
(erschienen am 24. April 2022)
Wenn wir Menschen eines sehr gut können, dann das „Verschätzen“. Praktisch egal, um was es geht, Volumina, Gewichte oder Preise – wenn wir keine Übung mit dem jeweiligen Objekt haben, liegen wir in der Regel daneben. Nicht selten sogar ziemlich weit. Das beweist zum Beispiel eine Studie, bei der die Teilnehmer das Gewicht einer Kartoffel schätzen sollten. Nur gut zehn Prozent der Probanden lagen mit ihrer Schätzung im Rahmen einer Abweichung von zehn Prozent des Gewichtes, rund 50 Prozent verschätzten sich um mehr als 100 Prozent. Selbst bei einem zweiten Untersuchungslauf bei dem als Referenzobjekt ein Glas Wasser mit 300 Gramm angegeben wurde, lagen die Probanden noch überwiegend bis zu 50 Prozent daneben.
Eine spannende Nebenerkenntnis: Gut zwei Drittel aller Teilnehmer waren sich sicher, mit ihrem Ergebnis sehr nahe dran zu liegen. Dieses Phänomen der, in diesem Falle Selbstüberschätzung, wurde bereits in einem vorherigen Monatsthema des HELMSTEDTER SONNTAG beleuchtet. Das Monatsthema April widmet sich allerdings wieder der Macht der Zahlen und im Konkreten unseren alltäglichen Rechenfehlern.
Die Sache mit dem Preis
Im ersten Teil des Monatsthemas April klang es schon an. Preise richtig einzuordnen, ist nicht gerade unsere Stärke. Sind mehrere praktisch gleiche Produkte zur Hand, über die ein direkter Vergleich möglich ist, sieht das noch ganz gut aus. Doch auch da liegt der Teufel im Detail. Und der wird bei der Preisgestaltung natürlich ausgereizt. Dabei greift ein wichtiges Prinzip. Wir nehmen „krumme“ Summen immer als günstiger wahr als die „runden“. Das liegt an unserer Konditionierung: Warum sollten wir auch daran zweifeln, wenn das gleiche Produkt im Angebot 95 Cent kos-tet, statt einem Euro, dass es dann vielleicht dennoch teurer ist? Nicht selten hat Aktionsware aber andere Inhaltsgrößen. Das Duschgel statt 200 Milliliter nur 180 Milliliter. Und schon wären die fünf Cent, die es vermeintlich günstiger wäre, in der Realität fünf Cent teurer. Deutlicher wird das beim Preisvergleich von Waschmitteln, da dort für den gleichen Wasch-effekt mitunter unterschiedliche Mengen benötigt werden. Sprich: Ein Liter Flüssigwaschmittel ist nicht gleich ein Liter Flüssigwaschmittel.
Aus eben diesem Grund gibt es für entsprechende Auspreisungen die Vorgabe, einen Vergleichswert mit auf die Etiketten zu schreiben. Also zum Beispiel der Preis pro 100 Gramm oder der Preis pro Waschladung. Der allerdings ist meist recht klein gedruckt, sodass wir uns doch vom Angebot überrumpeln lassen.
Prozente, Prozente!
Etwas, das uns im Alltag häufig ebenso verwirrt, sind Prozente. Dabei ist es im Grunde ganz Simpel: 100 Prozent sind jeweils das Ganze. 200 Prozent das Doppelte, 50 Prozent die Hälfte. Schwierig wird das Ganze, wenn Vergleiche mit unterschiedlichen Bezugsgrößen angestellt werden sollen. Was ist teurer? Die Packung mit 150 Gramm Inhalt für drei Euro, oder die Packung mit 30 Prozent mehr Inhalt für vier Euro? Hier setzt häufig wieder der Schätzfehler ein. Unser Hirn denkt zum Beispiel: Drei Euro gegenüber vier Euro sind drei Viertel, das verbleibende Viertel wären 25 Prozent, 30 Prozent sind mehr als 25, also muss es ein Schnäppchen sein. Richtig gerechnet wäre es, 30 Prozent von 150 Gramm auszurechnen, was 45 Gramm ergibt, die mehr in der Packung enthalten sind. Nun lässt sich leicht rechnen, 150 Gramm durch drei Euro sind 50 Gramm pro Euro, mal vier Euro ergibt 200 Gramm beim Normalpreis. Demgegenüber stehen aber nur 150 plus 45 Gramm aus dem Angebot für vier Euro, es fehlen also fünf Gramm.
Ganz um die Ecke gedacht werden muss dann bei Dingen, die zum Beispiel doppelt reduziert sind, sich auf die unverbindliche Preisempfehlung des Herstellers beziehen oder gänzlich andere Bezugsgrößen haben. Was also tun, wenn man sicher gehen möchte? Entweder, noch einmal die Schulbücher wälzen (ist gar nicht so viel), oder das Smartphone und den darauf enthaltenen Taschenrechner zu Rate ziehen. Wer die Formeln vergessen hat, kann zum Beispiel auf Online-Tools wie https://www.blitzrechner.de/prozent/ zurückgreifen.
Nico Jäkel, geboren 1981 in Helmstedt, ist ausgebildeter Redakteur, selbstständiger Fotograf und ein leidenschaftlicher Hobbykoch mit einer gigantischen Sammlung an Kochbüchern. Seine Markenzeichen sind verschachtelte Sätze. Zusätzlich zu seinem Faible für Produkttestungen, engagiert sich der Lokalpatriot in seiner Heimatstadt Schöningen.
